Christian Ruan: Matematica

Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.

f : D ->Y
em que:

* D é um conjunto (chamado de domínio da função)
* Y também é um conjunto (que pode ou não ser igual a D, chamado de contra-domínio da função)
* f é uma lei que associa elementos do conjunto D ao conjunto Y, satisfazendo certos axiomas (abaixo delineados)

Se x é um elemento do domínio D, a função f : D ->Y sempre associa a ele um único elemento f(x) do contra-domínio Y: f : x pertence a D ->Y = f(x)

O gráfico da função é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de D x Y.

Exemplo:

Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.

Esta não é uma função, pois o elemento 1 em Xnão é associado com, pelo menos, um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.

Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{se }x=1 \\ c, & \mbox{se }x=2 \\ d, & \mbox{se }x=3. \end{matrix}\right.$

Domínio, contradomínio e imagem

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradominio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradominio.

Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação. A função $f: \R \to \R, \ f(x) = x^2\,$ é diferente da função $g: \R \to \R^{+}, \ g(x) = x^2\,$ .

Funções compostas

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva directamente ao conjunto imagem A. Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, uma função composta pode ser g(f(x)) = 2x + 2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

Função inversa

Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f ^-1(x).